3B Scientific Pohl's Torsion Pendulum User Manual
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ralfeder in periodischer Folge auseinanderzieht und
zusammendrückt und so das Kupferrad in Schwingung
versetzt. Für die Dämpfung wird eine elektromagneti-
sche Wirbelstrombremse (11) verwendet. Ein Skalen-
ring (4) mit Schlitzen und Skala in 2-mm-Teilung um-
gibt das schwingende System; Zeiger befinden sich an
Erreger und Resonator.
Das Gerät kann auch in der Demonstration zur
Schattenprojektion verwendet werden.
Für die Stromversorgung wird ein DC-Netzgerät für
Drehpendel U11755 benötigt.
Eigenfrequenz:
ca. 0,5 Hz.
Erregerfrequenz:
0 bis 1,3 Hz (stufenlos einstellbar)
Anschlüsse:
Motor:
max. 24 V DC, 0,7 A,
über 4-mm-Sicherheitsbuchsen
Wirbelstrombremse: 0 bis 24 V DC, max. 2 A,
über 4-mm- Sicherheitsbuchsen
Skalenring:
300 mm Ø
Abmessungen:
400 mm x 140 mm x 270 mm
Masse:
4 kg
2.1 Lieferumfang
1 Drehpendel
2 Zusatzmassen 10 g
2 Zusatzmassen 20 g
3. Theoretische Grundlagen
3.1 Verwendete Formelzeichen
D
=
Winkelrichtgröße
J
=
Massenträgheitsmoment
M
=
Rücktreibendes Drehmoment
T
=
Periodendauer
T
0
=
Periodendauer des ungedämpften Systems
T
d
=
Periodendauer des gedämpften Systems
M
E
=
Amplitude des Erreger-Drehmoments
b
=
Dämpfungsmoment
n
=
Periodenzahl
t
=
Zeit
Λ
=
Logarithmisches Dekrement
δ
=
Dämpfungskonstante
ϕ
=
Auslenkwinkel
ϕ
0
=
Amplitude zur Zeit t = 0 s
ϕ
n
=
Amplitude nach n Perioden
ϕ
E
=
Erregeramplitude
ϕ
S
=
Systemamplitude
ω
0
=
Eigenfrequenz des schwingenden Systems
ω
d
=
Eigenfrequenz des gedämpften Systems
ω
E
=
Erregerkreisfrequenz
ω
E
res
=
Erregerkreisfrequenz für max. Amplitude
Ψ
0S
=
Systemnullphasenwinkel
3.2 Harmonische Drehschwingung
Eine harmonische Schwingung liegt vor, wenn die rück-
treibende Kraft proportional zur Auslenkung ist. Bei
harmonischen Drehschwingungen ist das rück-
treibende Drehmoment proportional zum Auslenk-
winkel
ϕ:
M = D ·
ϕ
Der Proportionalitätsfaktor D (Winkelrichtgröße) lässt
sich durch Messung des Auslenkwinkels und des aus-
lenkenden Moments errechnen.
Die Eigenkreisfrequenz des Systems
ω
0
ergibt sich nach
Messung der Periodendauer T aus
ω
0
= 2
π/T
und das Massenträgheitsmoment J aus
ω
0
2
=
D
J
3.3 Freie gedämpfte Drehschwingung
Bei einem schwingenden System, bei dem durch Rei-
bungsverluste Energie verloren geht, ohne dass diese
durch von außen zugeführte Energie kompensiert wird,
verringert sich die Amplitude ständig, d.h. die Schwin-
gung ist gedämpft.
Dabei ist das Dämpfungsmoment b proportional zur
Winkelgeschwindigkeit
ϕ
.
.
Aus dem Drehmoment-Gleichgewicht ergibt sich die
Bewegungsgleichung
J
b
D
⋅ + ⋅ + ⋅ =
ϕ
ϕ
ϕ
..
.
0
Für die ungedämpfte Schwingung ist b = 0
Beginnt die Schwingung zur Zeit t = 0 s mit der maxi-
malen Amplitude
ϕ
0
ergibt sich die Lösung der Diffe-
renzialgleichung bei einer nicht zu starken Dämpfung
(
δ² < ω
0
²) (Schwingfall)
ϕ =
ϕ
0
· e
–
δ ·t
· cos (
ω
d
· t)
δ = b/2 J ist die Dämpfungskonstante und
ω
ω
δ
d
0
2
2
=
−
die Eigenfrequenz des gedämpften Systems.
Bei einer starken Dämpfung (
δ² > ω
0
²) schwingt das
System nicht, sondern kriecht in die Ruhelage (Kriech-
fall).
Die Periodendauer T
d
des gedämpft schwingenden Sys-
tems ändert sich gegenüber T
0
des ungedämpft schwin-
genden Systems bei nicht zu starker Dämpfung nur
geringfügig.
Durch Einsetzen von t = n · T
d
in die Gleichung
ϕ =
ϕ
0
· e
–
δ ·t
· cos (
ω
d
· t)
und für die Amplitude nach n Perioden
ϕ =
ϕ
n
erhält
man mit der Beziehung
ω
d
= 2
π/T
d
ϕ
ϕ
δ
n
0
d
=
⋅
− ⋅
e
T
n
und daraus das logarithmische Dekrement
Λ:
Λ = ⋅ = ⋅
=
δ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
T
n
In
In
d
n
0
n
n+1
1